Warum sind die Extrema der ersten Ableitung die Wendestellen der ursprünglichen Funktion?

Die Extremstellen der ersten Ableitung einer Funktion sind die Wendestellen der ursprünglichen Funktion, weil an diesen Punkten die Krümmung der ursprünglichen Funktion wechselt.

Hier ist eine detaillierte Erklärung:

1. **Definition der Wendestelle**: Eine Wendestelle einer Funktion \( f(x) \) ist ein Punkt, an dem die Funktion von konvex (nach oben gekrümmt) zu konkav (nach unten gekrümmt) oder umgekehrt wechselt. Mathematisch bedeutet dies, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) an diesem Punkt das Vorzeichen wechselt.

2. **Erste Ableitung und ihre Extremstellen**: Die erste Ableitung \( f'(x) \) einer Funktion \( f(x) \) gibt die Steigung der Tangente an \( f(x) \) an jedem Punkt \( x \) an. Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die Steigung der Tangente ein Maximum oder Minimum erreicht, also wo \( f'(x) \) selbst ein lokales Maximum oder Minimum hat.

3. **Zusammenhang zwischen erster und zweiter Ableitung**: Die zweite Ableitung \( f''(x) \) gibt die Änderungsrate der Steigung an, also wie sich die Steigung \( f'(x) \) ändert. Wenn \( f'(x) \) ein Extremum hat, dann ist die Änderungsrate der Steigung an diesem Punkt null, was bedeutet, dass \( f''(x) = 0 \).

4. **Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung**: An den Extremstellen von \( f'(x) \) wechselt die Steigung von \( f'(x) \) von steigend zu fallend oder umgekehrt. Dies impliziert, dass die zweite Ableitung \( f''(x) \) das Vorzeichen wechselt. Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung ist genau das Kriterium für eine Wendestelle der ursprünglichen Funktion \( f(x) \).

Zusammengefasst: Die Extremstellen der ersten Ableitung \( f'(x) \) sind die Punkte, an denen die zweite Ableitung \( f''(x) \) null ist und das Vorzeichen wechselt. Dies sind genau die Punkte, an denen die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) eine Wendestelle hat.