Wie ermittelt man mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen von f und die Art der Extrema?

Um mithilfe der zweiten Ableitung die Extremstellen einer Funktion \( f \) und die Art der Extrema zu ermitteln, gehst du wie folgt vor:

1. **Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \):**
- Finde die Punkte, an denen \( f'(x) = 0 \) oder \( f'(x) \) nicht definiert ist. Diese Punkte sind die kritischen Punkte, an denen mögliche Extremstellen liegen können.

2. **Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \):**
- Berechne die zweite Ableitung der Funktion \( f \).

3. **Untersuche die kritischen Punkte mit der zweiten Ableitung:**
- Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung \( f''(x) \) ein.

4. **Bestimme die Art der Extrema:**
- Wenn \( f''(x) > 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Minimum.
- Wenn \( f''(x) < 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), dann hat \( f \) dort ein lokales Maximum.
- Wenn \( f''(x) = 0 \) an einem kritischen Punkt \( x = c \), kann die zweite Ableitung keine Aussage über die Art des Extremums machen. In diesem Fall sind weitere Untersuchungen notwendig, wie z.B. die Anwendung des Kriteriums höherer Ableitungen oder die Untersuchung des Funktionsverlaufs in der Umgebung des kritischen Punktes.

Beispiel:
Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. **Erste Ableitung:**
\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)

2. **Kritische Punkte:**
Setze \( f'(x) = 0 \):
\( 3x^2 - 6x = 0 \)
\( 3x(x - 2) = 0 \)
\( x = 0 \) oder \( x = 2 \)

3. **Zweite Ableitung:**
\( f''(x) = 6x - 6 \)

4. **Untersuchung der kritischen Punkte:**
- Für \( x = 0 \):
\( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \) (negativ, also lokales Maximum)
- Für \( x = 2 \):
\( f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \) (positiv, also lokales Minimum)

Zusammengefasst:
- Bei \( x = 0 \) hat \( f \) ein lokales Maximum.
- Bei \( x = 2 \) hat \( f \) ein lokales Minimum.