Wie leitet man eine Formel anhand des Dreisatzes allgemeingültig her?

Der Dreisatz ist eine Methode, um proportionale Zusammenhänge zu berechnen. Er wird oft verwendet, um eine unbekannte Größe zu ermitteln, wenn drei andere Größen bekannt sind. Hier ist eine allgemeine Anleitung zur Herleitung einer Formel mit dem Dreisatz:

1. **Verständnis des Problems**: Identifiziere die bekannten Größen und die gesuchte Größe. Bestimme, ob es sich um eine direkte oder indirekte Proportionalität handelt.

2. **Direkte Proportionalität**: Wenn zwei Größen direkt proportional sind, bedeutet das, dass sie sich im gleichen Verhältnis ändern. Zum Beispiel: Wenn Größe A sich verdoppelt, verdoppelt sich auch Größe B.

- Beispiel: Wenn 5 Äpfel 10 Euro kosten, wie viel kosten 8 Äpfel?
- Verhältnis: 5 Äpfel / 10 Euro = 8 Äpfel / x Euro

3. **Indirekte Proportionalität**: Wenn zwei Größen indirekt proportional sind, bedeutet das, dass eine Größe zunimmt, während die andere abnimmt. Zum Beispiel: Wenn die Geschwindigkeit steigt, sinkt die benötigte Zeit.

- Beispiel: Wenn ein Auto 2 Stunden braucht, um eine Strecke bei 60 km/h zu fahren, wie lange braucht es bei 120 km/h?
- Verhältnis: 60 km/h * 2 Stunden = 120 km/h * x Stunden

4. **Aufstellen der Gleichung**: Schreibe die Proportion als Gleichung auf.

- Direkte Proportionalität: \( \frac{A1}{B1} = \frac{A2}{B2} \)
- Indirekte Proportionalität: \( A1 \cdot B1 = A2 \cdot B2 \)

5. **Lösen der Gleichung**: Löse die Gleichung nach der gesuchten Größe auf.

- Direkte Proportionalität: \( x = \frac{A2 \cdot B1}{A1} \)
- Indirekte Proportionalität: \( x = \frac{A1 \cdot B1}{A2} \)

**Beispiel für direkte Proportionalität**:
- Gegeben: 5 Äpfel kosten 10 Euro. Gesucht: Kosten für 8 Äpfel.
- Verhältnis: \( \frac{5}{10} = \frac{8}{x} \)
- Auflösen: \( x = \frac{8 \cdot 10}{5} = 16 \) Euro

**Beispiel für indirekte Proportionalität**:
- Gegeben: 60 km/h für 2 Stunden. Gesucht: Zeit bei 120 km/h.
- Verhältnis: \( 60 \cdot 2 = 120 \cdot x \)
- Auflösen: \( x = \frac{60 \cdot 2}{120} = 1 \) Stunde

Diese Schritte helfen dabei, eine Formel anhand des Dreisatzes allgemeingültig herzuleiten.