Was sind die wichtigsten Formeln und Methoden zum Thema Differentialgleichungen?

Differentialgleichungen sind ein zentrales Thema in der Mathematik und haben viele Anwendungen in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hier sind einige der wichtigsten Formeln und Methoden:

1. **Trennung der Variablen**:
- Für eine Differentialgleichung der Form \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\), kann man die Variablen trennen und integrieren:
\[
\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx
\]

2. **Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung**:
- Eine Gleichung der Form \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) kann mit dem Integrationsfaktor gelöst werden:
\[
\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}
\]
Die Lösung ist dann:
\[
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) \, dx + C \right)
\]

3. **Homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung**:
- Für eine Gleichung der Form \(a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0\), ist die charakteristische Gleichung:
\[
ar^2 + br + c = 0
\]
Die Lösungen hängen von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung ab:
- Zwei reelle und unterschiedliche Wurzeln: \(y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\)
- Eine doppelte reelle Wurzel: \(y = (C_1 + C_2x)e^{rx}\)
- Komplexe Wurzeln: \(y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\), wobei \(r = \alpha \pm i\beta\)

4. **Nicht-homogene lineare Differentialgleichungen**:
- Für eine Gleichung der Form \(a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = f(x)\), ist die allgemeine Lösung:
\[
y = y_h + y_p
\]
wobei \(y_h\) die Lösung der homogenen Gleichung und \(y_p\) eine spezielle Lösung der nicht-homogenen Gleichung ist.

5. **Laplace-Transformation**:
- Eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen durch Transformation in den Laplace-Raum:
\[
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt
\]
Die Rücktransformation ist:
\[
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)
\]

6. **Fourier-Transformation**:
- Eine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere bei periodischen Funktionen:
\[
\mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt
\]
Die Rücktransformation ist:
\[
\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega
\]

Diese Methoden und Formeln sind grundlegend für das Verständnis und die Lösung von Differentialgleichungen.