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Wenn meine originale Funktion 3 Nullstellen hat, woher weiß ich, dass sie nur 2 mal das Monotonieverhalten verändert?
AntwortEine Funktion, die drei Nullstellen hat, kann ihr Monotonieverhalten nur zweimal ändern, weil die Anzahl der Extremstellen (also Maxima und Minima) einer Funktion immer um eins geringer ist als die Anzahl der Nullstellen. Hier ist der Grund: 1. **Nullstellen und Extremstellen**: Eine Funktion \( f(x) \) hat Nullstellen, wo \( f(x) = 0 \). Die Extremstellen (Maxima und Minima) einer Funktion sind die Punkte, an denen die Ableitung \( f'(x) = 0 \). 2. **Zusammenhang zwischen Nullstellen und Extremstellen**: Zwischen jeder Nullstelle einer Funktion muss mindestens eine Extremstelle liegen, wenn die Nullstellen nicht mehrfach sind. Das bedeutet, wenn eine Funktion drei Nullstellen hat, dann gibt es mindestens zwei Intervalle, in denen die Funktion ihr Monotonieverhalten ändert (von steigend zu fallend oder umgekehrt). 3. **Monotonieverhalten**: Das Monotonieverhalten einer Funktion ändert sich an den Extremstellen. Wenn eine Funktion drei Nullstellen hat, dann hat sie zwei Extremstellen, weil zwischen jeder Nullstelle eine Extremstelle liegen muss. Daher ändert eine Funktion mit drei Nullstellen ihr Monotonieverhalten genau zweimal.
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