Ist f(x) = 1/x² surjektiv und injektiv?

Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder subjektiv noch injektiv.

1. **Injektivität**: Eine Funktion ist injektiv (oder eineindeutig), wenn verschiedene Elemente des Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente des Wertebereichs abgebildet werden. Das bedeutet, dass \( f(a) = f(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \).

Für \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) gilt jedoch:
\[
f(a) = f(b) \implies \frac{1}{a^2} = \frac{1}{b^2} \implies a^2 = b^2 \implies a = b \text{ oder } a = -b
\]
Das bedeutet, dass \( f(x) \) nicht injektiv ist, da \( f(a) = f(-a) \) für \( a \neq 0 \).

2. **Subjektivität**: Eine Funktion ist subjektiv (oder surjektiv), wenn jedes Element des Wertebereichs von mindestens einem Element des Definitionsbereichs getroffen wird. Das bedeutet, dass für jedes \( y \) im Wertebereich ein \( x \) im Definitionsbereich existiert, sodass \( f(x) = y \).

Der Wertebereich von \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist \( (0, \infty) \), da \( \frac{1}{x^2} \) immer positiv ist und gegen unendlich geht, wenn \( x \) gegen 0 geht. Es gibt jedoch keine \( x \), sodass \( f(x) = 0 \) oder ein negatives \( y \) erreicht wird. Daher ist die Funktion nicht surjektiv auf \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{R}^+ \).

Zusammengefasst: \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) ist weder injektiv noch subjektiv.