Was sind Geradenbüsche und Ebenenbüsche in der analytischen Geometrie? Beispiele?

In der analytischen Geometrie sind Geradenbüsche und Ebenenbüsche spezielle Mengen von Geraden bzw. Ebenen, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben.

### Geradenbüsche

Ein Geradenbusch ist eine Menge von Geraden, die sich alle in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird als der **Trägerpunkt** des Geradenbusches bezeichnet.

#### Beispiel:
Betrachten wir den Punkt \( P(1, 2, 3) \) im dreidimensionalen Raum. Ein Geradenbusch, der diesen Punkt als Trägerpunkt hat, besteht aus allen Geraden, die durch \( P \) verlaufen. Jede Gerade in diesem Busch kann durch eine Parametergleichung der Form

\[ \vec{r}(t) = \vec{P} + t \cdot \vec{d} \]

beschrieben werden, wobei \( \vec{P} = (1, 2, 3) \) der Ortsvektor des Trägerpunkts ist und \( \vec{d} \) ein Richtungsvektor ist, der die Richtung der jeweiligen Geraden angibt.

Beispielhafte Geraden in diesem Busch könnten sein:
1. \( \vec{r}_1(t) = (1, 2, 3) + t \cdot (1, 0, 0) \)
2. \( \vec{r}_2(t) = (1, 2, 3) + t \cdot (, 1, 1) \)
3. \( \vec{r}_3(t) = (1, 2, 3) + t \cdot (-, 2, -1) \)

Alle diese Geraden schneiden sich im Punkt \( P(1, 2, 3) \).

### Ebenenbüsche

Ein Ebenenbusch ist eine Menge von Ebenen, die sich alle entlang einer gemeinsamen Geraden schneiden. Diese Gerade wird als die **Trägergerade** des Ebenenbusches bezeichnet.

#### Beispiel:
Betrachten wir die Gerade \( g \) mit der Parametergleichung

\[ \vec{g}(t) = (1, 2, 3) + t \cdot (1, 1, 1) \]

Ein Ebenenbusch, der diese Gerade als Trägergerade hat, besteht aus allen Ebenen, die diese Gerade enthalten. Jede Ebene in diesem Busch kann durch eine Ebenengleichung der Form

\[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r}_0) = 0 \]

beschrieben werden, wobei \( \vec{r}_0 \) ein Punkt auf der Trägergerade ist und \( \vec{n} \) ein Normalenvektor der Ebene ist.

Beispielhafte Ebenen in diesem Busch könnten sein:
1. \( \vec{n}_1 = (1, -1, 0) \) und die Ebene: \( (1, -1, 0) \cdot (\vec{r} - (1, 2, 3)) = 0 \)
2. \( \vec{n}_2 = (0, 1, -) \) und die Ebene: \( (0, 1, -1) \cdot (\vec{r} - (1, 2, 3)) = 0 \)
3. \( \vec{n}_3 = (1, 1, -2) \) und die Ebene: \( (1, 1, -2) \cdot (\vec{r} - (1, 2, 3)) = 0 \)

Alle diese Ebenen schneiden sich entlang der Trägergerade \( g \).

Diese Konzepte sind nützlich in der analytischen Geometrie, um die Beziehungen zwischen verschiedenen geometrischen Objekten zu verstehen und zu analysieren.