Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x0=2 an den Graphen der Funktion f(x)=3⋅x^2−2?

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2 \) an der Stelle \( x_0 = 2 \) zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig:

1. **Berechnung des Funktionswertes an der Stelle \( x_0 = 2 \):**
\[
f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10
\]
Der Punkt auf dem Graphen ist also \( (2, 10) \).

2. **Berechnung der Ableitung der Funktion \( f(x) \):**
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2) = 6x
\]

3. **Berechnung des Wertes der Ableitung an der Stelle \( x_0 = 2 \):**
\[
f'(2) = 6 \cdot 2 = 12
\]
Die Steigung der Tangente an der Stelle \( x_0 = 2 \) ist also \( m = 12 \).

4. **Aufstellen der Tangentengleichung:**
Die allgemeine Form der Tangentengleichung ist \( t(x) = m \cdot x + b \). Um den y-Achsenabschnitt \( b \) zu bestimmen, wird der Punkt \( (2, 10) \) in die Gleichung eingesetzt:
\[
10 = 12 \cdot 2 + b
\]
\[
10 = 24 + b
\]
\[
b = 10 - 24 = -14
\]

Die Gleichung der Tangente lautet also:
\[
t(x) = 12x - 14
\]