Wie beweist der Höhensatz von Euklid den Satz des Pythagoras?

Der Höhensatz des Euklid ist ein spezieller Fall des Satzes des Pythagoras und kann als ein Mittel verwendet werden, um den Satz des Pythagoras zu beweisen. Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe, die auf die Hypotenuse fällt, gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte ist.

Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Erklärung, wie der Höhensatz des Euklid verwendet werden kann, um den Satz des Pythagoras zu beweisen:

1. **Gegebenes rechtwinkliges Dreieck**: Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck \(ABC\) mit dem rechten Winkel bei \(C\). Die Hypotenuse ist \(AB\), und die Höhe von \(C\) auf \(AB\) sei \(CD\).

2. **Höhensatz des Euklid**: Der Höhensatz besagt, dass \(CD^2 = AD \cdot DB\), wobei \(AD\) und \(DB\) die beiden Abschnitte der Hypotenuse sind, die durch die Höhe \(CD\) geteilt werden.

3. **Zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke**: Die Höhe \(CD\) teilt das ursprüngliche Dreieck \(ABC\) in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke \(ACD\) und \(BCD\).

4. **Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die kleineren Dreiecke**:
- Im Dreieck \(ACD\): \(AC^2 = AD^2 + CD^2\)
- Im Dreieck \(BCD\): \(BC^2 = DB^2 + CD^2\)

5. **Summieren der beiden Gleichungen**:
- \(AC^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2 + DB^2 + CD^2\)
- \(AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2 \cdot CD^2\)

6. **Verwendung des Höhensatzes**: Da \(CD^2 = AD \cdot DB\), kann man dies in die Gleichung einsetzen:
- \(AC^2 + BC^2 = AD^2 + DB^2 + 2 \cdot (AD \cdot DB)\)

7. **Vereinfachung**: Da \(AD + DB = AB\), ergibt sich:
- \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)

Dies ist der Satz des Pythagoras, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (AB) gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten (AC und BC) ist.

Durch diese Schritte zeigt der Höhensatz des Euklid, wie der Satz des Pythagoras bewiesen werden kann.