Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen in der Analysis 1 erklären.

In der Analysis 1 sind injektive, surjektive und bijektive Abbildungen wichtige Konzepte, die die Beziehung zwischen zwei Mengen beschreiben. Hier sind die Definitionen:

1. **Injektive Abbildung (Injektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist injektiv, wenn verschiedene Elemente aus der Menge \( A \) auf verschiedene Elemente in der Menge \( B \) abgebildet werden. Formal bedeutet das: Wenn \( f(x_1) = f(x_2) \), dann muss \( x_1 = x_2 \) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei unterschiedlichen Elemente in \( A \), die auf dasselbe Element in \( B \) abgebildet werden.

2. **Surjektive Abbildung (Surjektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist surjektiv, wenn jedes Element in der Menge \( B \) mindestens ein Urbild in der Menge \( A \) hat. Das bedeutet, für jedes \( b \in B \) existiert mindestens ein \( a \in A \), sodass \( f(a) = b \). In anderen Worten, die gesamte Menge \( B \) wird durch die Abbildung \( f \) erreicht.

3. **Bijektive Abbildung (Bijektion)**: Eine Abbildung \( f: A \rightarrow B \) ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Das bedeutet, dass jedes Element in \( A \) auf ein einzigartiges Element in \( B \) abgebildet wird (Injektivität) und dass jedes Element in \( B \) ein Urbild in \( A \) hat (Surjektivität). Bijektive Abbildungen sind besonders wichtig, da sie eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den beiden Mengen herstellen.

Zusammenfassend:
- Injektiv: Keine zwei Elemente aus \( A \) haben dasselbe Bild in \( B \).
- Surjektiv: Jedes Element in \( B \) wird von mindestens einem Element in \( A \) erreicht.
- Bijektiv: Jedes Element in \( A \) hat ein einzigartiges Bild in \( B \) und jedes Element in \( B \) hat ein Urbild in \( A \).