Wie entsteht die Kreisvolumenformel?

Ein Kreis hat kein Volumen, da er eine zweidimensionale geometrische Figur ist. Volumen ist eine Eigenschaft von dreidimensionalen Objekten. Wenn du jedoch das Volumen einer Kugel (eines dreidimensionalen Objekts) meinst, kann ich dir die Formel und deren Herleitung erklären.

Die Volumenformel einer Kugel lautet:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Hier ist \( r \) der Radius der Kugel.

Die Herleitung dieser Formel erfolgt durch Integration. Man kann sich die Kugel als eine Ansammlung von unendlich vielen dünnen Scheiben (Zylindern) vorstellen, die übereinander gestapelt sind. Das Volumen jeder dieser Scheiben kann durch die Fläche des Kreises (Querschnittsfläche) und die Dicke der Scheibe berechnet werden.

1. Betrachte eine Kugel mit Radius \( r \).
2. Eine Scheibe in der Höhe \( z \) hat einen Radius \( \sqrt{r^2 - z^2} \) (aus dem Satz des Pythagoras).
3. Die Fläche dieser Scheibe ist \( \pi (\sqrt{r^2 - z^2})^2 = \pi (r^2 - z^2) \).
4. Das Volumen einer dünnen Scheibe mit Dicke \( dz \) ist \( \pi (r^2 - z^2) dz \).
5. Integriere diese Volumina von \( -r \) bis \( r \):

\[ V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - z^2) dz \]

6. Diese Integration ergibt:

\[ V = \pi \left[ r^2z - \frac{z^3}{3} \right]_{-r}^{r} \]

7. Setze die Grenzen ein:

\[ V = \pi \left( r^3 - \frac{r^3}{3} - (-r^3 + \frac{r^3}{3}) \right) \]

8. Das vereinfacht sich zu:

\[ V = \pi \left( \frac{2r^3}{3} + \frac{2r^3}{3} \right) = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

So erhält man die Volumenformel der Kugel.