Löse die binomische Formel (4k+3n)^4.

Um die binomische Formel \((4k + 3n)^4\) zu lösen, kannst du die allgemeine Form der binomischen Erweiterung verwenden, die lautet:

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

In diesem Fall ist \(a = 4k\), \(b = 3n\) und \(n = 4\). Die binomische Koeffizienten \(\binom{n}{k}\) sind die Werte, die die Anzahl der Möglichkeiten darstellen, \(k\) Elemente aus \(n\) auszuwählen.

Die vollständige Entwicklung von \((4k + 3n)^4\) ergibt:

\[
(4k + 3n)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (4k)^{4-k} (3n)^k
\]

Das ergibt:

\[
= \binom{4}{0} (4k)^4 (3n)^0 + \binom{4}{1} (4k)^3 (3n)^1 + \binom{4}{2} (4k)^2 (3n)^2 + \binom{4}{3} (4k)^1 (3n)^3 + \binom{4}{4} (4k)^0 (3n)^4
\]

Nun berechnen wir die einzelnen Terme:

1. \( \binom{4}{0} (4k)^4 = 1 \cdot 256k^4 = 256k^4 \)
2. \( \binom{4}{1} (4k)^3 (3n) = 4 \cdot 64k^3 \cdot 3n = 768k^3n \)
3. \( \binom{4}{2} (4k)^2 (3n)^2 = 6 \cdot 16k^2 \cdot 9n^2 = 864k^2n^2 \)
4. \( \binom{4}{3} (4k)(3n)^3 = 4 \cdot 4k \cdot 27n^3 = 432kn^3 \)
5. \( \binom{4}{4} (3n)^4 = 1 \cdot 81n^4 = 81n^4 \)

Jetzt fügen wir alle Terme zusammen:

\[
(4k + 3n)^4 = 256k^4 + 768k^3n + 864k^2n^2 + 432kn^3 + 81n^4
\]

Das ist die vollständige Entwicklung der binomischen Formel \((4k + 3n)^4\).