Wie berechne ich das Maximum der Funktion durch Nullsetzen der Ableitung?

Um das Maximum einer Funktion zu berechnen, indem du die Ableitung gleich Null, folge diesen Schritten:

1. **Funktion aufstellen**: Sei \( f(x) \) die gegebene Funktion.

2. **Ableitung berechnen**: Bestimme die erste Ableitung \( f'(x) \).

3. **Ableitung gleich Null setzen**: Löse die Gleichung \( f'(x) = 0 \) nach \( x \) auf, um die kritischen Punkte zu finden.

4. **Zweite Ableitung berechnen**: Bestimme die zweite Ableitung \( f''(x) \).

5. **Kritische Punkte untersuchen**: Setze die kritischen Punkte in die zweite Ableitung ein:
- Wenn \( f''(x) < 0 \), handelt es sich um ein lokales Maximum.
- Wenn \( f''(x) > 0 \), handelt es sich um ein lokales Minimum.
- Wenn \( f''(x) = 0 \), ist der Test nicht schlüssig, und es könnte sich um einen Sattelpunkt handeln.

Hier ist ein Beispiel:

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \).

1. **Funktion**: \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \)

2. **Erste Ableitung**: \( f'(x) = -4x + 4 \)

3. **Ableitung gleich Null setzen**:
\[
-4x + 4 = 0 \implies x = 1
\]

4. **Zweite Ableitung**: \( f''(x) = -4 \)

5. **Kritischen Punkt untersuchen**:
\[
f''(1) = -4 < 0
\]
Da die zweite Ableitung negativ ist, hat die Funktion bei \( x = 1 \) ein lokales Maximum.

6. **Maximum berechnen**: Setze \( x = 1 \) in die ursprüngliche Funktion ein:
\[
f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3
\]

Das Maximum der Funktion \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) ist also \( f(1) = 3 \).