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Welche notwendige Bedingung existiert für einen Funktionsgraphen mit einer doppelten Nullstelle bei x0, an der die x-Achse berührt wird?
AntwortWenn der Funktionsgraph bei \( x_0 \) eine doppelte Nullstelle hat und die x-Achse berührt, bedeutet dies, dass die Funktion an dieser Stelle nicht nur den Wert null annimmt, sondern auch, dass die erste Ableitung an dieser Stelle ebenfalls null ist. Die notwendigen Bedingungen sind daher: 1. \( f(x_0) = 0 \) (die Funktion hat an \( x_0 \) den Wert null). 2. \( f'(x_0) = 0 \) (die erste Ableitung ist ebenfalls null, was bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt und nicht schneidet). Zusätzlich könnte man auch sagen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle nicht null sein sollte, um sicherzustellen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt und der Graph tatsächlich die x-Achse berührt. Das bedeutet: 3. \( f''(x_0) \neq 0 \) (die zweite Ableitung ist nicht null, was auf eine Wende oder eine lokale Extremstelle hinweist). Diese Bedingungen zusammen charakterisieren eine doppelte Nullstelle.
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