Wie berechne ich Nullstellen einer Funktion dritten Grades?

Um die Nullstellen einer Funktion dritten Grades (Kubische Funktion) zu berechnen, kannst du folgende Schritte befolgen:

1. **Form der Funktion**: Eine kubische Funktion hat die Form \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).

2. **Raten und Polynomdivision**: Versuche, eine rationale Nullstelle durch Raten zu finden. Eine mögliche Nullstelle \( x = r \) ist ein Teiler des konstanten Terms \( d \) geteilt durch einen Teiler des führenden Koeffizienten \( a \). Wenn du eine Nullstelle \( r \) gefunden hast, kannst du die Polynomdivision verwenden, um die kubische Funktion in ein Produkt aus einem linearen Faktor und einem quadratischen Polynom zu zerlegen.

3. **Quadratische Gleichung lösen**: Nachdem du die kubische Funktion in ein Produkt aus einem linearen Faktor und einem quadratischen Polynom zerlegt hast, kannst du die Nullstellen des quadratischen Polynoms mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel) berechnen.

Hier ist ein Beispiel:

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 22x + 24 \).

1. **Rationale Nullstellen raten**: Mögliche Nullstellen sind die Teiler von 24 (konstanter Term) geteilt durch die Teiler von 2 (führender Koeffizient). Also: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24 \).

2. **Nullstelle finden**: Durch Einsetzen findest du, dass \( x = 2 \) eine Nullstelle ist, da \( f(2) = 0 \).

3. **Polynomdivision**: Teile \( f(x) \) durch \( (x - 2) \):

\( 2x^3 - 4x^2 - 22x + 24 \div (x - 2) = 2x^2 - 2x - 12 \).

4. **Quadratische Gleichung lösen**: Löse \( 2x^2 - 2x - 12 = 0 \) mit der Mitternachtsformel:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \),

wobei \( a = 2 \), \( b = -2 \), \( c = -12 \).

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{4} = \frac{2 \pm 10}{4} \).

Das ergibt \( x = 3 \) und \( x = -2 \).

Die Nullstellen der Funktion sind also \( x = 2 \), \( x = 3 \), und \( x = -2 \).