Wie verläuft die Parabel durch die Punkte P(0|8), Q(2|5) und R(-2|13)?

Um die Parabel zu bestimmen, die durch die Punkte P(0, 8), Q(2, 5) und R(-2, 13) verläuft, kannst du die allgemeine Form einer Parabel verwenden, die wie folgt aussieht:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

Da die Parabel durch die drei Punkte verläuft, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, indem du die Koordinaten der Punkte in die Parabelgleichung einsetzt.

1. Für den Punkt P(0, 8):
\[ 8 = a(0)^2 + b(0) + c \]
\[ c = 8 \]

2. Für den Punkt Q(2, 5):
\[ 5 = a(2)^2 + b(2) + c \]
\[ 5 = 4a + 2b + 8 \]
\[ 4a + 2b = -3 \] (Gleichung 1)

3. Für den Punkt R(-2, 13):
\[ 13 = a(-2)^2 + b(-2) + c \]
\[ 13 = 4a - 2b + 8 \]
\[ 4a - 2b = 5 \] (Gleichung 2)

Jetzt hast du ein System von zwei Gleichungen:

1. \( 4a + 2b = -3 \)
2. \( 4a - 2b = 5 \)

Um das System zu lösen, kannst du die beiden Gleichungen addieren:

\[
(4a + 2b) + (4a - 2b) = -3 + 5
\]
\[
8a = 2 \implies a = \frac{1}{4}
\]

Setze \( a = \frac{1}{4} \) in eine der Gleichungen ein, um \( b \) zu finden. Zum Beispiel in Gleichung 1:

\[
4\left(\frac{1}{4}\right) + 2b = -3
\]
\[
1 + 2b = -3 \implies 2b = -4 \implies b = -2
\]

Jetzt haben wir \( a = \frac{1}{4} \), \( b = -2 \) und \( c = 8 \). Die Parabelgleichung lautet also:

\[
y = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 8
\]

Diese Gleichung beschreibt die Parabel, die durch die Punkte P, Q und R verläuft.