PQ-Formel für -6x² + 3x + 19 = 0?

Um die pq-Formel anzuwenden, musst du die Gleichung in die Form \(x^2 + px + q = 0\) bringen. Deine Gleichung lautet:

\(-6x^2 + 3x + 19 = 0\)

Zuerst teilen wir die gesamte Gleichung durch \(-6\), um die Koeffizienten zu vereinfachen:

\[x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{19}{6} = 0\]

Jetzt haben wir \(p = -\frac{1}{2}\) und \(q = -\frac{19}{6}\).

Die pq-Formel lautet:

\[x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]

Setzen wir die Werte für \(p\) und \(q\) ein:

1. Berechne \(-\frac{p}{2}\):

\[-\frac{-\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}\]

2. Berechne \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\):

\[\left(\frac{-\frac{1}{2}}{2}\right)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\]

3. Berechne \(\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\):

\[\sqrt{\frac{1}{16} - \left(-\frac{19}{6}\right)} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{19}{6}}\]

Um die beiden Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner von 16 und 6 ist 48:

\[\frac{1}{16} = \frac{3}{48}\]
\[\frac{19}{6} = \frac{152}{48}\]

Jetzt addieren wir:

\[\frac{3}{48} + \frac{152}{48} = \frac{155}{48}\]

Nun berechnen wir die Wurzel:

\[\sqrt{\frac{155}{48}} = \frac{\sqrt{155}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{155}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{155}}{12\sqrt{3}} \text{ (nach Vereinfachung)}\]

Jetzt setzen wir alles in die pq-Formel ein:

\[x = \frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{155}}{12\sqrt{3}}\]

Das sind die Lösungen für die Gleichung \(-6x^2 + 3x + 19 = 0\).