Wie bestimmt man das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen von Definitionslücken?

Um das Verhalten einer Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

1. **Identifiziere die Definitionslücken**: Finde die Werte von \( x \), für die die Funktion nicht definiert ist. Diese können durch Nullstellen des Nenners in gebrochenen Funktionen oder durch andere Einschränkungen wie Wurzeln von negativen Zahlen in reellen Funktionen entstehen.

2. **Untersuche das Verhalten in der Nähe der Definitionslücken**:
- **Grenzwerte berechnen**: Bestimme die Grenzwerte der Funktion, wenn \( x \) sich den Definitionslücken von links (\( x \to a^- \)) und von rechts (\( x \to a^+ \)) nähert. Dies hilft zu verstehen, ob die Funktion gegen unendlich geht, gegen einen bestimmten Wert konvergiert oder oszilliert.
- **Einseitige Grenzwerte**: Berechne die einseitigen Grenzwerte, um zu sehen, ob die Funktion unterschiedliche Werte annimmt, wenn sie sich der Definitionslücke von verschiedenen Seiten nähert.

3. **Typ der Definitionslücke bestimmen**:
- **Hebbare Lücke**: Wenn der Grenzwert existiert und endlich ist, aber die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist, handelt es sich um eine hebbare Lücke.
- **Polstelle**: Wenn der Grenzwert unendlich ist (die Funktion geht gegen unendlich), handelt es sich um eine Polstelle.
- **Sprungstelle**: Wenn die einseitigen Grenzwerte existieren, aber unterschiedlich sind, handelt es sich um eine Sprungstelle.

4. **Verhalten grafisch darstellen**: Zeichne den Graphen der Funktion in der Nähe der Definitionslücken, um das Verhalten visuell zu überprüfen.

Ein Beispiel:
Betrachte die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x-2} \).

- **Definitionslücke**: \( x = 2 \) (da der Nenner null wird).
- **Grenzwerte**:
- \( \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty \)
- \( \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = \infty \)
- **Typ der Definitionslücke**: Polstelle, da die Grenzwerte unendlich sind.

Durch diese Schritte kannst du das Verhalten der Funktion in den Umgebungen ihrer Definitionslücken systematisch bestimmen.