Was ist das Verhalten in der Kurvendiskussion?

In der Kurvendiskussion wird das Verhalten einer Funktion \( f(x) \) untersucht, um ihre Eigenschaften und das Verhalten ihres Graphen zu analysieren. Hier sind die wichtigsten Schritte und Aspekte, die dabei betrachtet werden:

1. **Definitionsbereich bestimmen**: Feststellen, für welche Werte von \( x \) die Funktion definiert ist.

2. **Symmetrie untersuchen**:
- **Achsensymmetrie**: Prüfen, ob \( f(x) = f(-x) \).
- **Punktsymmetrie**: Prüfen, ob \( f(x) = -f(-x) \).

3. **Nullstellen berechnen**: Die Werte von \( x \) finden, für die \( f(x) = 0 \).

4. **Verhalten im Unendlichen**: Untersuchen, wie sich \( f(x) \) verhält, wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht.

5. **Ableitungen berechnen**:
- **Erste Ableitung \( f'(x) \)**: Bestimmen, um die Steigung der Funktion zu analysieren.
- **Zweite Ableitung \( f''(x) \)**: Bestimmen, um das Krümmungsverhalten zu analysieren.

6. **Extremstellen finden**:
- **Hoch- und Tiefpunkte**: Bestimmen durch Nullsetzen der ersten Ableitung \( f'(x) = 0 \) und Überprüfung des Vorzeichenwechsels.
- **Monotonieverhalten**: Untersuchen, ob die Funktion in bestimmten Intervallen steigt oder fällt.

7. **Wendepunkte und Krümmungsverhalten**:
- **Wendepunkte**: Bestimmen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung \( f''(x) = 0 \) und Überprüfung des Vorzeichenwechsels.
- **Krümmung**: Untersuchen, ob die Funktion in bestimmten Intervallen konvex oder konkav ist.

8. **Asymptoten bestimmen**:
- **Vertikale Asymptoten**: Werte von \( x \) finden, bei denen die Funktion gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht.
- **Horizontale Asymptoten**: Werte von \( y \) finden, gegen die die Funktion strebt, wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) geht.
- **Schräge Asymptoten**: Falls vorhanden, bestimmen.

Diese Schritte helfen, ein vollständiges Bild der Funktion und ihres Graphen zu erhalten.