Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, wenn durchschnittlich 10% kaputt sind?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, wenn durchschnittlich 10% kaputt sind, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat (Erfolg oder Misserfolg).

Die Formel für die Binomialverteilung lautet:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

wobei:
- \( n \) die Anzahl der Versuche ist (in diesem Fall 10),
- \( k \) die Anzahl der Erfolge (kaputte Glühbirnen) ist,
- \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit (in diesem Fall 0.1) ist,
- \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient ist, der berechnet wird als \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Glühbirnen kaputt sind, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass 0, 1 oder 2 Glühbirnen kaputt sind:

\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

Berechnen wir diese Wahrscheinlichkeiten einzeln:

1. \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \approx 0.3487 \]

2. \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.1)^1 (0.9)^9 = 10 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^9 \approx 0.3874 \]

3. \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = \binom{10}{2} (0.1)^2 (0.9)^8 = 45 \cdot 0.01 \cdot (0.9)^8 \approx 0.1937 \]

Nun addieren wir diese Wahrscheinlichkeiten:

\[ P(X \leq 2) \approx 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = 0.9298 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Glühbirnen höchstens 2 kaputt sind, beträgt also ungefähr 92.98%.