Wahrscheinlichkeit für genau einmal die 12 bei 8 Würfen mit einem 12-seitigen Würfel?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei 8 Würfen mit einem 12-seitigen Würfel genau einmal die 12 geworfen wird, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat (Erfolg oder Misserfolg).

Hier sind die Schritte zur Berechnung:

1. **Definiere die Parameter der Binomialverteilung:**
- \( n = 8 \) (Anzahl der Würfe)
- \( k = 1 \) (genau einmal die 12)
- \( p = \frac{1}{12} \) (Wahrscheinlichkeit, eine 12 zu würfeln)
- \( q = 1 - p = \frac{11}{12} \) (Wahrscheinlichkeit, keine 12 zu würfeln)

2. **Verwende die Binomialformel:**
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]
wobei \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient ist und berechnet wird als:
\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

3. **Setze die Werte ein:**
\[
P(X = 1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{12}\right)^1 \left(\frac{11}{12}\right)^{8-1}
\]

4. **Berechne den Binomialkoeffizienten:**
\[
\binom{8}{1} = 8
\]

5. **Setze alles zusammen:**
\[
P(X = 1) = 8 \cdot \left(\frac{1}{12}\right) \cdot \left(\frac{11}{12}\right)^7
\]

6. **Berechne die Wahrscheinlichkeiten:**
\[
\left(\frac{11}{12}\right)^7 \approx 0.513
\]

7. **Multipliziere die Werte:**
\[
P(X = 1) = 8 \cdot \frac{1}{12} \cdot 0.513 \approx 0.342
\]

Die Wahrscheinlichkeit, bei 8 Würfen mit einem 12-seitigen Würfel genau einmal eine 12 zu würfeln, beträgt also ungefähr 0.342 oder 34.2%.