Was ist eine Projektionsmatrix?

Eine Projektionsmatrix ist eine spezielle Art von Matrix in der linearen Algebra, die verwendet wird, um Vektoren auf einen Unterraum zu projizieren. Eine Projektionsmatrix \( P \) hat die Eigenschaft, dass sie idempotent ist, was bedeutet, dass \( P^2 = P \). Das bedeutet, wenn die Matrix auf einen Vektor angewendet wird, bleibt der Vektor unverändert, wenn die Projektion bereits erfolgt ist.

Es gibt zwei Haupttypen von Projektionsmatrizen:

1. **Orthogonale Projektionsmatrix**: Diese projiziert Vektoren auf einen Unterraum entlang der orthogonalen Komplementärvektoren. Eine orthogonale Projektionsmatrix \( P \) hat die zusätzliche Eigenschaft, dass sie symmetrisch ist, also \( P = P^T \).

2. **Schiefe Projektionsmatrix**: Diese projiziert Vektoren auf einen Unterraum entlang einer Richtung, die nicht notwendigerweise orthogonal ist.

Ein Beispiel für eine orthogonale Projektionsmatrix ist die Projektion auf eine Linie im \(\mathbb{R}^2\). Wenn die Linie durch den Ursprung geht und einen Richtungsvektor \(\mathbf{u}\) hat, dann ist die Projektionsmatrix \( P \) gegeben durch:

\[ P = \frac{\mathbf{u} \mathbf{u}^T}{\mathbf{u}^T \mathbf{u}} \]

Hierbei ist \(\mathbf{u}^T\) das Transponierte von \(\mathbf{u}\).

Projektionsmatrizen sind in vielen Bereichen der Mathematik und angewandten Wissenschaften nützlich, insbesondere in der linearen Regression, der Signalverarbeitung und der Computergrafik.