Wendepunkt berechnen?

Um den Wendepunkt einer Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Funktion ableiten**: Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion \( f(x) \).

2. **Zweite Ableitung gleich null setzen**: Setze die zweite Ableitung \( f''(x) \) gleich null und löse die Gleichung nach \( x \) auf. Dies liefert die Kandidaten für Wendepunkte.

3. **Dritte Ableitung prüfen**: Berechne die dritte Ableitung \( f'''(x) \) und setze die gefundenen \( x \)-Werte ein. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn \( f'''(x) \neq 0 \).

4. **Koordinaten des Wendepunkts bestimmen**: Setze die \( x \)-Werte, die die Bedingung erfüllen, in die ursprüngliche Funktion \( f(x) \) ein, um die \( y \)-Koordinaten der Wendepunkte zu erhalten.

Beispiel:

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

1. **Ableitungen berechnen**:
- Erste Ableitung: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)
- Zweite Ableitung: \( f''(x) = 6x - 6 \)
- Dritte Ableitung: \( f'''(x) = 6 \)

2. **Zweite Ableitung gleich null setzen**:
\[ 6x - 6 = 0 \]
\[ x = 1 \]

3. **Dritte Ableitung prüfen**:
\[ f'''(1) = 6 \neq 0 \]
Also ist \( x = 1 \) ein Wendepunkt.

4. **Koordinaten des Wendepunkts bestimmen**:
\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \]
Der Wendepunkt ist also \( (1, 0) \).

Der Wendepunkt der Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) liegt bei \( (1, 0) \).