Wie ist die Funktion f definiert und umkehrbar?

Um zu überprüfen, ob die Funktion \( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) den angegebenen Wertebereich \( W_f = [-1, 5] \) hat und ob die Umkehrfunktion korrekt ist, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmung des Wertebereichs**:
Die Funktion \( f(x) \) ist eine quadratische Funktion, die nach oben geöffnet ist (da der Koeffizient von \( x^2 \) positiv ist). Um den Wertebereich zu bestimmen, finden wir zunächst die Scheitelpunktform der Funktion.

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Hier ist \( a = 2 \), \( b = 8 \) und \( c = 6 \).

Der Scheitelpunkt \( x_s \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) berechnet werden:
\[
x_s = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2
\]

Nun setzen wir \( x_s \) in die Funktion ein, um den Funktionswert am Scheitelpunkt zu finden:
\[
f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
\]

Da die Funktion nach oben geöffnet ist, ist der minimale Wert \( f(-2) = -2 \). Um den maximalen Wert zu finden, setzen wir die Grenzen des Intervalls \( [-1, 5] \) in die Funktion ein:
\[
f(-1) = 2(-1)^2 + 8(-1) + 6 = 2 \cdot 1 - 8 + 6 = 2 - 8 + 6 = 0
\]
\[
f(5) = 2(5)^2 + 8(5) + 6 = 2 \cdot 25 + 40 + 6 = 50 + 40 + 6 = 96
\]

Der Wertebereich von \( f \) auf dem Intervall \( [-1, 5] \) ist also \( [-2, 96] \), nicht \( [-1, 5] \).

2. **Umkehrbarkeit**:
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie injektiv ist, d.h. wenn sie für verschiedene \( x \) verschiedene \( f(x) \) Werte liefert. Da \( f(x) \) eine quadratische Funktion ist, ist sie nicht injektiv über das gesamte Intervall. Umkehrbarkeit kann jedoch auf einem eingeschränkten Intervall erreicht werden, wo die Funktion monoton ist.

Der Bereich \( [-1, 5] \) ist nicht geeignet, um die Umkehrfunktion zu definieren, da die Funktion nicht injektiv ist.

3. **Überprüfung der Umkehrfunktion**:
Die angegebene Umkehrfunktion \( f^{-1}(x) = -2 - 1 + \sqrt{x^2} \) scheint nicht korrekt zu sein. Um die Umkehrfunktion zu finden, müsste man die Gleichung \( y = 2x^2 + 8x + 6 \) nach \( x \) umstellen, was kompliziert ist und nicht zu der angegebenen Form führt.

Zusammenfassend ist der Wertebereich von \( f \) nicht \( [-1, 5] \), und die angegebene Umkehrfunktion ist nicht korrekt.