Erkläre den 2-seitigen Lottogewinn mit Zurücklegen aus einer Urne?

Beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne handelt es sich um ein klassisches Beispiel für ein Zufallsexperiment in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier ist eine Erklärung für das Szenario mit zwei Ziehungen:

1. **Urne und Kugeln**: Angenommen, es gibt eine Urne mit \( n \) Kugeln, die unterschiedlich oder gleich sein können. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.

2. **Ziehen mit Zurücklegen**: Bei diesem Verfahren wird eine Kugel aus der Urne gezogen, die Farbe oder Nummer notiert und dann die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt. Dadurch bleibt die Anzahl der Kugeln in der Urne konstant, und die Wahrscheinlichkeit für jede Kugel bleibt bei jeder Ziehung gleich.

3. **Zwei Ziehungen**: Das Experiment wird zweimal durchgeführt. Da die Kugeln nach jeder Ziehung zurückgelegt werden, sind die beiden Ziehungen unabhängig voneinander.

### Beispiel

Angenommen, die Urne enthält 3 Kugeln: eine rote (R), eine blaue (B) und eine grüne (G).

- **Erste Ziehung**: Es gibt 3 mögliche Ergebnisse: R, B oder G.
- **Zweite Ziehung**: Da die Kugel nach der ersten Ziehung zurückgelegt wird, gibt es wieder 3 mögliche Ergebnisse: R, B oder G.

### Wahrscheinlichkeiten

Da jede Ziehung unabhängig ist, kann die Wahrscheinlichkeit für jede Kombination von Ergebnissen berechnet werden. Zum Beispiel:

- Die Wahrscheinlichkeit, zweimal Rot zu ziehen (R, R), ist \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).
- Die Wahrscheinlichkeit, zuerst Rot und dann Blau zu ziehen (R, B), ist \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \).

### Alle möglichen Kombinationen

Die möglichen Ergebnisse der zwei Ziehungen sind:
- (R, R)
- (R, B)
- (R, G)
- (B, R)
- (B, B)
- (B, G)
- (G, R)
- (G, B)
- (G, G)

Jede dieser Kombinationen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{9} \).

### Zusammenfassung

Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Anzahl der Kugeln in der Urne konstant, und jede Ziehung ist unabhängig von den vorherigen. Dies führt zu einer einfachen Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination von Ergebnissen.