Wie zeigen die Unvollständigkeitssätze, dass es logisch wahre Aussagen gibt, die nicht aus Axiomen ableitbar sind?

Die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel zeigen, dass jedem hinreichend mächtigen formalen System, das die Axiome der Arithmetik umfasst, es wahre Aussagen gibt die innerhalb dieses Systems beweisbar sind. Dies wird durch zwei Hauptsätze verdeutlicht:

1. **Erster Unvollständigkeitssatz**: In jedem konsistenten formalen System, das stark genug ist, die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben, gibt es Aussagen, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Das bedeutet, es existieren wahre arithmetische Aussagen, die innerhalb des Systems nicht beweisbar sind.

2. **Zweiter Unvollständigkeitssatz**: Ein solches System kann seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Das heißt, wenn das System konsistent ist, kann es nicht beweisen, dass es konsistent ist.

Diese Sätze zeigen, dass es Grenzen für das gibt, was in einem formalen System bewiesen werden kann. Selbst wenn alle Axiome des Systems wahr sind und die Ableitungsregeln korrekt angewendet werden, gibt es immer noch wahre Aussagen, die nicht aus diesen Axiomen ableitbar sind. Gödel konstruierte eine spezielle Aussage (oft als "Gödel-Satz" bezeichnet), die im Wesentlichen besagt: "Diese Aussage ist nicht beweisbar." Wenn diese Aussage im System beweisbar wäre, würde das zu einem Widerspruch führen, da das System dann inkonsistent wäre. Da das System konsistent ist, muss die Aussage wahr, aber unbeweisbar sein.