Was besagt die Schrödinger-Gleichung?

Die Schrödinger-Gleichung ist eine fundamentale Gleichung der Quantenmechanik, die die zeitliche Entwicklung des Zustands eines quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wurde 1926 von Erwin Schrödinger formuliert und ist in zwei Formen bekannt: die zeitabhängige und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung.

1. **Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung**:
Diese beschreibt, wie sich der Zustand eines Systems mit der Zeit ändert. Sie lautet:
\[
i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)
\]
Hierbei ist:
- \(i\) die imaginäre Einheit,
- \(\hbar\) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum,
- \(\Psi(\mathbf{r}, t)\) die Wellenfunktion des Systems,
- \(\hat{H}\) der Hamiltonoperator, der die Gesamtenergie des Systems beschreibt.

2. **Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung**:
Diese wird verwendet, wenn das System zeitlich stationär ist, also wenn die Energie des Systems konstant ist. Sie lautet:
\[
\hat{H} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r})
\]
Hierbei ist:
- \(\psi(\mathbf{r})\) die zeitunabhängige Wellenfunktion,
- \(E\) die Energie des Systems.

Die Wellenfunktion \(\Psi\) enthält alle Informationen über das System und ihre Betragsquadrat \(|\Psi|^2\) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das Teilchen an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit zu finden.