Wie leite ich die Schrödinger Gleichung her?

Die Schrödinger-Gleichung ist eine fundamentale Gleichung der Quantenmechanik, die das Verhalten von quantenmechanischen Systemen beschreibt. Es gibt zwei Hauptformen der Schrödinger-Gleichung: die zeitabhängige und die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Hier ist eine Herleitung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:

1. **Grundlagen der Quantenmechanik**: In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion \(\psi(x, t)\) beschrieben, die Informationen über die Wahrscheinlichkeit des Auffindens eines Teilchens an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit enthält.

2. **Postulate der Quantenmechanik**: Eines der zentralen Postulate besagt, dass die Dynamik eines quantenmechanischen Systems durch eine Differentialgleichung beschrieben werden kann. Diese Gleichung ist die Schrödinger-Gleichung.

3. **Energieoperator**: In der Quantenmechanik wird der Energieoperator (Hamilton-Operator) \( \hat{H} \) verwendet, der in der Regel die kinetische und potenzielle Energie eines Systems umfasst. Für ein Teilchen in einem Potential \( V(x) \) lautet der Hamilton-Operator:
\[
\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x)
\]
wobei \( \hbar \) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und \( m \) die Masse des Teilchens ist.

4. **Zeitentwicklung**: Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems wird durch den Zeitentwicklungsoperator \( \hat{U}(t) \) beschrieben, der die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt \( t \) bestimmt:
\[
\psi(x, t) = \hat{U}(t) \psi(x, 0)
\]

5. **Schrödinger-Gleichung**: Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung wird dann formuliert als:
\[
i\hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(x, t)
\]
Hierbei ist \( i \) die imaginäre Einheit.

6. **Interpretation**: Diese Gleichung beschreibt, wie sich die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems mit der Zeit verändert. Der linke Teil der Gleichung beschreibt die zeitliche Änderung der Wellenfunktion, während der rechte Teil die Energie des Systems in Bezug auf die Wellenfunktion darstellt.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung kann aus der zeitabhängigen Gleichung abgeleitet werden, indem man die Wellenfunktion als Produkt einer räumlichen und einer zeitlichen Funktion schreibt, was zu einer separierbaren Form führt.