Beispiel Pearson-Korrelation?

Die Pearson-Korrelation ist ein statistisches Maß, das die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen beschreibt. Hier ist ein einfaches Beispiel, um die Berechnung der Pearson-Korrelation zu veranschaulichen:

Angenommen, du hast zwei Datensätze:

- X: [1, 2, 3, 4, 5]
- Y: [2, 4, 6, 8, 10]

Schritte zur Berechnung der Pearson-Korrelation:

1. **Mittelwerte berechnen:**
- Mittelwert von X (\(\bar{X}\)): (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3
- Mittelwert von Y (\(\bar{Y}\)): (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6

2. **Abweichungen vom Mittelwert berechnen:**
- Für X: [1-3, 2-3, 3-3, 4-3, 5-3] = [-2, -1, 0, 1 2]
- Für Y: [2-6, 46, 6-6, 8-6, 106] = [-4, -2, 0, 2, 4]

3. **Produkte der Abweichungen berechnen:**
- [-2 * -4, -1 * -2, 0 * 0, 1 * 2, 2 * 4] = [8,2, 0, 2, 8]

4. **Summe der Produkte der Abweichungen:**
- 8 + 2 + 0 + 2 + 8 = 20

5. **Quadrate der Abweichungen berechnen und summieren:**
- Für X: [(-2)^2, (-1)^2, 0^2, 1^2, 2^2] = [4, 1, 0,, 4] → Summe = 10
- Für Y: [(-4)^2, (-2)^2, 0^2, 2^2, 4^2] = [16, 4, 0, 4, 16] → Summe = 40

6. **Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen:**
\[
r = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2 \sum (Y_i - \bar{Y})^2}}
\]
\[
r = \frac{20}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{20}{\sqrt{400}} = \frac{20}{20} = 1
\]

Der Pearson-Korrelationskoeffizient \( r \) beträgt 1, was auf eine perfekte positive lineare Beziehung zwischen den beiden Variablen hinweist.