Warum wird die Fehlerquadratsumme bei einer ANOVA kleiner, wenn man einen weiteren Faktor hinzufügt?

In der ANOVA (Analyse der Varianz) wird die Fehlerquadratsumme (Sum of Squares for Error, SSE) kleiner, wenn man einen weiteren Faktor hinzufügt, weil die zusätzliche Variable dazu beiträgt, mehr von der Gesamtvarianz der abhängigen Variable zu erklären.

Hier ist der Grund dafür:

1. **Gesamtvarianz (Total Sum of Squares, SST)**: Dies ist die gesamte Varianz in den Daten, die sich aus der Summe der Quadrate der Abweichungen jedes Datenpunkts vom Gesamtmittelwert ergibt.

2. **Erklärte Varianz (Sum of Squares for Model, SSM)**: Dies ist die Varianz, die durch die erklärenden Faktoren (unabhängige Variablen) im Modell erklärt wird.

3. **Fehlervarianz (Sum of Squares for Error, SSE)**: Dies ist die Varianz, die nicht durch das Modell erklärt wird und als Fehler oder Residualvarianz bezeichnet wird.

Die Beziehung zwischen diesen Komponenten ist:
\[ \text{SST} = \text{SSM} + \text{SSE} \]

Wenn du einen weiteren Faktor in das Modell aufnimmst, erhöht sich in der Regel die erklärte Varianz (SSM), weil das Modell nun mehr Informationen hat, um die Unterschiede in der abhängigen Variable zu erklären. Da die Gesamtvarianz (SST) konstant bleibt, muss die Fehlervarianz (SSE) entsprechend abnehmen, um die Gleichung auszugleichen.

Zusammengefasst: Durch Hinzufügen eines weiteren Faktors wird mehr von der Gesamtvarianz durch das Modell erklärt, was die verbleibende Fehlervarianz reduziert.