Wie führt man multiple lineare Regression mit Hauptkomponenten als Variablen durch? Welche Formeln benötigt man?

Die multiple lineare Regression mit Hauptkomponenten als Variablen wird oft als Hauptkomponentenregression (Principal Component Regression, PCR) bezeichnet. Hier sind die Schritte und die wesentlichen Formeln, die du benötigst:

1. **Standardisierung der Daten**:
- Zunächst werden die Daten standardisiert, sodass jede Variable einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 hat.
- Standardisierte Daten \( Z \) werden berechnet als:
\[
Z_{ij} = \frac{X_{ij} - \bar{X}_j}{s_j}
\]
wobei \( X_{ij} \) der Wert der \( j \)-ten Variable für die \( i \)-te Beobachtung ist, \( \bar{X}_j \) der Mittelwert der \( j \)-ten Variable und \( s_j \) die Standardabweichung der \( j \)-ten Variable.

2. **Berechnung der Hauptkomponenten**:
- Führe eine Hauptkomponentenanalyse (PCA) auf den standardisierten Daten durch, um die Hauptkomponenten zu erhalten.
- Die Hauptkomponenten \( T \) werden berechnet als:
\[
T = ZP
\]
wobei \( P \) die Matrix der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix der standardisierten Daten ist.

3. **Auswahl der Hauptkomponenten**:
- Wähle die ersten \( k \) Hauptkomponenten aus, die den größten Anteil der Varianz erklären.

4. **Regression der Zielvariable auf die Hauptkomponenten**:
- Führe eine multiple lineare Regression der Zielvariable \( Y \) auf die ausgewählten Hauptkomponenten \( T_k \) durch.
- Das Regressionsmodell lautet:
\[
Y = T_k \beta + \epsilon
\]
wobei \( \beta \) die Regressionskoeffizienten und \( \epsilon \) der Fehlerterm ist.

5. **Transformation der Regressionskoeffizienten**:
- Die Regressionskoeffizienten in Bezug auf die ursprünglichen Variablen können durch Rücktransformation der Hauptkomponentenkoeffizienten berechnet werden:
\[
\hat{\beta}_{\text{original}} = P_k \hat{\beta}
\]
wobei \( P_k \) die Matrix der ersten \( k \) Eigenvektoren ist und \( \hat{\beta} \) die geschätzten Regressionskoeffizienten der Hauptkomponenten sind.

Zusammengefasst sind die wesentlichen Schritte: Standardisierung der Daten, Durchführung der PCA, Auswahl der Hauptkomponenten, Regression auf die Hauptkomponenten und Rücktransformation der Koeffizienten.