Pearson Korrelation vs Spearman Rang Korrelation mit Beispiel?

Die Pearson-Korrelation und die Spearman-Rang-Korrelation sind zwei verschiedene Methoden zur Messung der Stärke und Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen.

**Pearson-Korrelation:**
- Misst die lineare Beziehung zwischen zwei kontinuierlichen Variablen.
- Wertebereich: -1 bis 1.
- Ein Wert von 1 bedeutet eine perfekte positive lineare Beziehung, -1 eine perfekte negative lineare Beziehung und 0 keine lineare Beziehung.
- Beispiel: Untersuche die Beziehung zwischen der Anzahl der Stunden, die jemand lernt, und der Punktzahl, die er in einem Test erzielt.

**Spearman-Rang-Korrelation:**
- Misst die monotone Beziehung zwischen zwei Variablen, die ordinal oder kontinuierlich sein können.
- Wertebereich: -1 bis 1.
- Ein Wert von 1 bedeutet eine perfekte positive monotone Beziehung, -1 eine perfekte negative monotone Beziehung und 0 keine monotone Beziehung.
- Beispiel: Untersuche die Beziehung zwischen der Rangfolge der Schüler in zwei verschiedenen Prüfungen.

**Beispiel:**

Angenommen, wir haben die folgenden Daten für zwei Variablen X und Y:

| Person | X (Stunden gelernt) | Y (Testpunktzahl) |
|--------|----------------------|-------------------|
| A | 1 | 2 |
| B | 2 | 3 |
| C | 3 | 6 |
| D | 4 | 8 |
| E | 5 | 10 |

**Pearson-Korrelation:**
- Berechne die Mittelwerte von X und Y.
- Berechne die Abweichungen der einzelnen Werte von den Mittelwerten.
- Multipliziere die Abweichungen der entsprechenden Werte von X und Y.
- Teile die Summe dieser Produkte durch das Produkt der Standardabweichungen von X und Y.

**Spearman-Rang-Korrelation:**
- Ordne die Werte von X und Y in Rangfolgen.
- Berechne die Differenzen der Rangfolgen für jede Person.
- Quadriere diese Differenzen und summiere sie.
- Verwende die Formel für die Spearman-Rang-Korrelation:

\[ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \]

wobei \( d_i \) die Differenz der Rangfolgen und \( n \) die Anzahl der Beobachtungen ist.

In diesem Beispiel würden beide Korrelationen wahrscheinlich hoch sein, da die Beziehung zwischen den Variablen stark und positiv ist.