Wie leite ich die Varianz der Fisher-Transformation her?

Die Fisher-Transformation wird verwendet, um die Korrelation zwischen zwei Variablen zu stabilisieren, insbesondere wenn die Korrelation nahe bei 1 oder -1 liegt. Die Transformation wird wie folgt definiert:

\[
z = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)
\]

wobei \( r \) die Pearson-Korrelation ist und \( z \) die transformierte Variable darstellt.

Um die Varianz der Fisher-Transformation abzuleiten, betrachten wir die Ableitung der Fisher-Transformation. Die Varianz der transformierten Korrelation kann unter der Annahme, dass \( r \) eine Stichprobenkorrelation ist, approximiert werden.

1. **Ableitung der Fisher-Transformation**: Zuerst leiten wir \( z \) nach \( r \) ab:

\[
\frac{dz}{dr} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + r} \cdot \frac{d(1 + r)}{dr} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - r} \cdot \frac{d(1 - r)}{dr}
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
\frac{dz}{dr} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + r} + \frac{1}{1 - r} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - r + 1 + r}{(1 + r)(1 - r)} \right) = \frac{1}{(1 - r^2)}
\]

2. **Varianz der Fisher-Transformation**: Die Varianz der Fisher-Transformation kann dann unter Verwendung der Delta-Methode approximiert werden. Wenn \( r \) eine Stichprobenkorrelation ist, hat sie eine Varianz von \( \sigma^2_r \approx \frac{1}{n - 3} \) für große \( n \). Die Varianz der transformierten Variable \( z \) ist dann:

\[
Var(z) \approx \left( \frac{dz}{dr} \right)^2 Var(r) = \left( \frac{1}{1 - r^2} \right)^2 \cdot \frac{1}{n - 3}
\]

Zusammenfassend ergibt sich die Varianz der Fisher-Transformation als:

\[
Var(z) \approx \frac{1}{(1 - r^2)^2 (n - 3)}
\]

Diese Formel zeigt, dass die Varianz der Fisher-Transformation von der ursprünglichen Korrelation \( r \) und der Stichprobengröße \( n \) abhängt.