Was ist die Varianz in der Statistik?

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung oder Variabilität einer Datenmenge. Sie gibt an, wie weit die einzelnen Werte einer Verteilung im Durchschnitt von ihrem Mittelwert abweichen. Eine hohe Varianz bedeutet, dass die Werte weit auseinander liegen, während eine niedrige Varianz darauf hinweist, dass die Werte nahe beieinander liegen.

Die Varianz wird berechnet, indem man die Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Mittelwert quadriert, diese quadrierten Differenzen summiert und dann durch die Anzahl der Datenpunkte (bei der Population) oder durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins (bei einer Stichprobe) teilt. Die Formel für die Varianz \( \sigma^2 \) einer Population lautet:

\[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
\]

Für eine Stichprobe \( s^2 \) lautet die Formel:

\[
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
\]

Hierbei ist \( N \) die Anzahl der Datenpunkte in der Population, \( n \) die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe, \( x_i \) die einzelnen Werte, \( \mu \) der Mittelwert der Population und \( \bar{x} \) der Mittelwert der Stichprobe.