Wie bestimme ich die Regelungsparameter des symmetrischen Optimums für elektrische Antriebssysteme?

Das symmetrische Optimum ist eine Methode zur Einstellung der Regelungsparameter eines PID-Reglers, um ein optimales dynamisches Verhalten zu erreichen. Diese Methode wird häufig in der Regelungstechnik, insbesondere bei elektrischen Antriebssystemen, angewendet. Hier ist eine allgemeine Herleitung zur Bestimmung der Regelungsparameter:

1. **Übertragungsfunktion des Systems:**
Angenommen, das zu regelnde System hat die Übertragungsfunktion \( G(s) \). Für elektrische Antriebssysteme kann dies oft als ein PT2-Glied (Zweipol) dargestellt werden:
\[
G(s) = \frac{K}{(Ts + 1)^2}
\]
wobei \( K \) die Verstärkung und \( T \) die Zeitkonstante des Systems sind.

2. **PID-Regler:**
Der PID-Regler hat die Übertragungsfunktion:
\[
G_R(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right)
\]
wobei \( K_p \) der Proportionalfaktor, \( T_i \) die Integrationszeit und \( T_d \) die Differenzierzeit sind.

3. **Offene Schleife:**
Die offene Schleifenübertragungsfunktion ist das Produkt der Übertragungsfunktionen des Reglers und des Systems:
\[
G_{OL}(s) = G_R(s) \cdot G(s) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s \right) \ot \frac{K}{(Ts + 1)^2}
\]

4. **Symmetrisches Optimum:**
Das Ziel des symmetrischen Optimums ist es, die Phasenreserve und die Bandbreite des Systems zu maximieren. Dies wird erreicht, indem die Polstellen der offenen Schleifenübertragungsfunktion symmetrisch um die imaginäre Achse verteilt werden.

5. **Bestimmung der Parameter:**
Für das symmetrische Optimum werden die Parameter des PID-Reglers wie folgt bestimmt:
\[
T_i = 2T
\]
\[
T_d = \frac{T}{2}
\]
\[
K_p = \frac{1}{K} \cdot \frac{T}{T_i} = \frac{1}{K} \cdot \frac{T}{2T} = \frac{1}{2K}
\]

6. **Zusammenfassung:**
Die Regelungsparameter des PID-Reglers für das symmetrische Optimum sind:
\[
K_p = \frac{1}{2K}
\]
\[
T_i = 2T
\]
\[
T_d = \frac{T}{2}
\]

Diese Herleitung zeigt, wie die Parameter des PID-Reglers für das symmetrische Optimum bestimmt werden können, um ein optimales dynamisches Verhalten des Regelkreises zu erreichen.