Erkläre NURBS-Flächen genau.

NURBS steht für "Non-Uniform Rational B-Splines" und ist ein mathematisches Modell zur Darstellung von 2D- und 3D-Kurven und -Flächen. NURBS-Flächen sind besonders in der Computergrafik, CAD (Computer-Aided Design) und in der Animation weit verbreitet. Hier sind die Hauptmerkmale von NURBS-Flächen:

1. **Mathematische Grundlage**: NURBS-Flächen basieren auf B-Splines, die durch Kontrollpunkte, Gewichte und Knotenvektoren definiert sind. Diese mathematische Struktur ermöglicht eine präzise und flexible Modellierung.

2. **Kontrollpunkte**: Eine NURBS-Fläche wird durch ein Gitter von Kontrollpunkten definiert. Diese Punkte beeinflussen die Form der Fläche, aber die Fläche selbst verläuft nicht notwendigerweise durch alle Kontrollpunkte.

3. **Gewichte**: Jeder Kontrollpunkt hat ein Gewicht, das die Einflussstärke des Punktes auf die Fläche bestimmt. Durch die Anpassung der Gewichte kann die Form der Fläche erheblich verändert werden, was eine hohe Flexibilität bietet.

4. **Knotenvektoren**: Knotenvektoren sind eine Reihe von Werten, die die Parameterisierung der B-Spline-Kurve oder -Fläche steuern. Sie bestimmen, wie die Kontrollpunkte miteinander verbunden sind und wie die Fläche interpoliert wird.

5. **Rationale Darstellung**: Der Begriff "rational" bezieht sich darauf, dass die NURBS-Flächen durch eine gewichtete Summe von Basisfunktionen dargestellt werden. Dies ermöglicht die Darstellung von konischen und anderen komplexen geometrischen Formen, die mit herkömmlichen B-Splines nicht möglich wären.

6. **Flexibilität und Präzision**: NURBS bieten eine hohe Flexibilität bei der Modellierung komplexer Formen und sind in der Lage, sowohl einfache als auch sehr komplexe Geometrien präzise darzustellen.

7. **Anwendungen**: NURBS-Flächen werden in vielen Bereichen eingesetzt, darunter Automobil- und Flugzeugdesign, Produktdesign, Animation und visuelle Effekte.

Zusammenfassend sind NURBS-Flächen ein leistungsfähiges Werkzeug zur Erstellung und Manipulation von 3D-Formen, das durch ihre mathematische Struktur eine hohe Flexibilität und Präzision bietet.