Wie lang muss die Leine einer Ziege sein, um 100% der Wiese zu erreichen?

Um zu bestimmen, wie lang die Leine der Ziege sein muss, damit sie die gesamte Wiese von 12 m x 20 m abgrasen kann, müssen wir die Geometrie der Situation betrachten.

Die Ziege ist an einer Ecke der Wiese angeleint. Wenn die Leine eine bestimmte Länge hat, kann die Ziege in einem Viertelkreis grasen, dessen Radius der Länge der Leine entspricht. Um die gesamte Wiese zu erreichen, muss die Ziege in der Lage sein, die gesamte Fläche von 12 m x 20 m zu erreichen.

Die Fläche der Wiese beträgt:
\[
A = 12 \, \text{m} \times 20 \, \text{m} = 240 \, \text{m}^2
\]

Die Ziege kann nur in einem Viertelkreis grasen, wenn sie an einer Ecke angeleint ist. Der Radius \( r \) der Leine muss so gewählt werden, dass der Viertelkreis, den die Ziege abgrasen kann, mindestens die gesamte Fläche der Wiese abdeckt.

Die Fläche eines Viertelkreises ist gegeben durch:
\[
A_{\text{Viertelkreis}} = \frac{1}{4} \pi r^2
\]

Um die gesamte Wiese abzugrasen, muss gelten:
\[
\frac{1}{4} \pi r^2 \geq 240
\]

Um \( r \) zu finden, multiplizieren wir beide Seiten mit 4:
\[
\pi r^2 \geq 960
\]

Nun teilen wir durch \( \pi \):
\[
r^2 \geq \frac{960}{\pi}
\]

Und ziehen die Quadratwurzel:
\[
r \geq \sqrt{\frac{960}{\pi}}
\]

Berechnen wir den Wert:
\[
r \geq \sqrt{\frac{960}{3.14159}} \approx \sqrt{305.76} \approx 17.5 \, \text{m}
\]

Die Leine muss also mindestens etwa 17.5 m lang sein, damit die Ziege die gesamte Wiese abgrasen kann.