7 Fragen zu Wahrscheinlichkeiten

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Werfen von zwei fairen Würfeln eine Augensumme von 10 erzielt wird, müssen zunächst alle möglichen Kombinationen der Würfelergebnisse betrachtet werden. Jeder Würfel hat 6 Seiten, also gibt es insgesamt \(6 \times 6 = 36\) mögliche Kombinationen. Nun werden die Kombinationen identifiziert, die eine Augensumme von 10 ergeben: - (4, 6) - (5, 5) - (6, 4) Es gibt also 3 Kombinationen, die eine Augensumme von 10 ergeben. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist dann das Verhältnis der günstigen Kombinationen zur Gesamtzahl der möglichen Kombinationen: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Kombinationen}}{\text{Gesamtzahl der möglichen Kombinationen}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \] Die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Werfen von zwei fairen Würfeln eine Augensumme von 10 zu erhalten, beträgt also \(\frac{1}{12}\) oder etwa 8,33 %.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, kann man den komplimentären Ansatz verwenden, also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Susi keinen Gewinn zieht, und diese von 1 subtrahieren. 1. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi keinen Gewinn zieht:** - Beim ersten Los: Die Wahrscheinlichkeit, eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{450}{500}\). - Beim zweiten Los: Nachdem eine Niete gezogen wurde, sind noch 449 Nieten und insgesamt 499 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, erneut eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{449}{499}\). - Beim dritten Los: Nachdem zwei Nieten gezogen wurden, sind noch 448 Nieten und insgesamt 498 Lose übrig. Die Wahrscheinlichkeit, wieder eine Niete zu ziehen, beträgt \(\frac{448}{498}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Susi drei Nieten zieht, ist das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten: \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \] 2. **Berechnung:** \[ P(\text{drei Nieten}) = \frac{450}{500} \times \frac{449}{499} \times \frac{448}{498} \approx 0.812 \] 3. **Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht:** \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - P(\text{drei Nieten}) \] \[ P(\text{mindestens ein Gewinn}) = 1 - 0.812 = 0.188 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass Susi mindestens einen Gewinn zieht, beträgt also etwa 0.188 oder 18.8%.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die Zahl 3 zweimal hintereinander mit einem fairen sechsseitigen Würfel zu würfeln, kann man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine 3 zu würfeln, beträgt \(\frac{1}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf ebenfalls eine 3 zu würfeln, beträgt ebenfalls \(\frac{1}{6}\). Da die beiden Würfe unabhängig voneinander sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: \[ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \] Die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zweimal hintereinander zu würfeln, beträgt also \(\frac{1}{36}\) oder etwa 2,78%.

Um den erwarteten Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der gezogenen Kugeln und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Es gibt insgesamt 10 Kugeln: 6 rote (r), 3 weiße (w) und 1 schwarze (s). Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die möglichen Kombinationen und ihre Wahrscheinlichkeiten sind: 1. Zwei rote Kugeln (rr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (5/9) = 30/90 = 1/3 - Gewinn: 1,25 € 2. Zwei weiße Kugeln (ww): - Wahrscheinlichkeit: (3/10) * (2/9) = 6/90 = 1/15 - Gewinn: 2 € 3. Eine rote und eine weiße Kugel (rw oder wr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (3/9) + (3/10) * (6/9) = 36/90 = 2/5 - Gewinn: 1,5 € 4. Eine schwarze Kugel (s) und eine andere Kugel (r oder w): - Wahrscheinlichkeit: (1/10) * (9/9) + (9/10) * (1/9) = 1/10 + 1/10 = 1/5 - Gewinn: 0 € Der erwartete Gewinn (E) kann nun berechnet werden: E = (1/3 * 1,25 €) + (1/15 * 2 €) + (2/5 * 1,5 €) + (1/5 * 0 €) E = (/ * 1,25) + (1/15 * 2 + (2/5 * 1,5) + (1/5 * 0) E = (0,4167) + (0,1333) + (0,6) + (0) E = 1,15 € Da der Einsatz 1 € beträgt, ist der Mindestgewinn 0,5 €: Mindestgewinn = Erwarteter Gewinn - Einsatz Mindestgewinn = 1,15 € - 1 € Mindestgewinn = 0,15 € Der Mindestgewinn beträgt also 0,15 €.

Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination:** - **ww (weiß-weiß):** \[ P(ww) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] - **rr (rot-rot):** \[ P(rr) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \] - **wr (weiß-rot) oder rw (rot-weiß):** \[ P(wr) = \frac{3}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] \[ P(rw) = \frac{6}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] Da wr und rw gleichwertig sind: \[ P(wr \text{ oder } rw) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] - **Kombinationen mit einer schwarzen Kugel (s):** \[ P(s) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{9} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] 2. **Berechne die erwarteten Gewinne:** - **Gewinn bei ww: 2€** - **Gewinn bei rr: 1,25€** - **Gewinn bei wr oder rw: 1,5€** - **Gewinn bei einer schwarzen Kugel: 0€** 3. **Erwarteter Gewinn:** \[ E(Gewinn) = P(ww) \times 2 + P(rr) \times 1,25 + P(wr \text{ oder } rw) \times 1,5 + P(s) \times 0 \] Setze die Wahrscheinlichkeiten ein: \[ E(Gewinn) = \frac{1}{15} \times 2 + \frac{1}{3} \times 1,25 + \frac{2}{5} \times 1,5 + \frac{1}{5} \times 0 \] Berechne die einzelnen Terme: \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25}{3} + \frac{3}{5} \] Um die Brüche zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (15): \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25 \times 5}{15} + \frac{3 \times 3}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{6,25}{15} + \frac{9}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2 + 6,25 + 9}{15} = \frac{17,25}{15} = 1,15 \] Der erwartete Gewinn beträgt also 1,15€. Da der Einsatz 1€ beträgt, ist der Nettogewinn 0,15€.

Um die Wahrscheinlichkeiten und mögliche Gewinne bei einem Einsatz von 1 Euro zu berechnen, wenn eine Kugel aus einer Urne mit 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel gezogen wird, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Gesamtanzahl der Kugeln**: Es gibt insgesamt 10 Kugeln (6 rote + 3 weiße + 1 schwarze). 2. **Wahrscheinlichkeiten**: - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \( \frac{6}{10} = 0.6 \) - Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen: \( \frac{3}{10} = 0.3 \) - Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen: \( \frac{1}{10} = 0.1 \) 3. **Gewinne und Verluste**: - Angenommen, der Gewinn für eine rote Kugel beträgt 2 Euro. - Der Gewinn für eine weiße Kugel beträgt 3 Euro. - Der Gewinn für eine schwarze Kugel beträgt 10 Euro. 4. **Erwartungswert**: Der Erwartungswert (E) des Gewinns kann berechnet werden, indem man die Gewinne mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Ergebnisse summiert: \( E = (0.6 \times 2) + (0.3 \times 3) + (0.1 \times 10) \) \( E = 1.2 + 0.9 1 \) \( E = 3.1 \) 5 **Nettoerwartungswert**: Da der Einsatz 1 Euro beträgt, muss dieser vom Erwartungswert abgezogen werden, um den Nettoerwartungswert zu erhalten: \( Nettoerwartungswert = 3.1 - 1 = 2.1 \) Das bedeutet, dass der durchschnittliche Gewinn pro Spiel 2.1 Euro beträgt.

Wenn David zwei Kugeln nacheinander aus einem Topf mit 3 roten und 7 blauen Kugeln zieht und jede Kugel nach dem Ziehen wieder zurücklegt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung gleich, da die Zusammensetzung des Topfes sich nicht ändert. 1. **Erste Ziehung:** - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10}\) (3 rote Kugeln von insgesamt 10 Kugeln) - Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10}\) (7 blaue Kugeln von insgesamt 10 Kugeln) 2. **Zweite Ziehung:** - Da die Kugel nach der ersten Ziehung wieder zurückgelegt wird, bleibt die Wahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung gleich wie bei der ersten Ziehung: - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10}\) - Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10}\) Da jede Ziehung unabhängig ist, multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen der Ziehungen: - Wahrscheinlichkeit, zweimal eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zweimal eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100}\) Diese Wahrscheinlichkeiten decken alle möglichen Ergebnisse der zwei Ziehungen ab.