Wie lautet die Formel für die Messunsicherheitsfortpflanzung von f0 = 1/2π×√(D/Θ)?

Die Formel für die Messunsicherheitsfortpflanzung (auch bekannt als Fehlerfortpflanzung) für eine Funktion \( f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{D}{\Theta}} \) kann mit Hilfe der partiellen Ableitungen der Funktion und der Unsicherheiten der einzelnen Variablen berechnet werden. Angenommen, \( D \) und \( \Theta \) sind die Variablen mit den Unsicherheiten \( \Delta D \) und \( \Delta \Theta \), lautet die Formel für die Unsicherheit \( \Delta f_0 \):

\[ \Delta f_0 = \sqrt{\left( \frac{\partial f_0}{\partial D} \Delta D \right)^2 + \left( \frac{\partial f_0}{\partial \Theta} \Delta \Theta \right)^2} \]

Zuerst müssen die partiellen Ableitungen von \( f_0 \) berechnet werden:

1. Partielle Ableitung von \( f_0 \) nach \( D \):
\[ \frac{\partial f_0}{\partial D} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{D}{\Theta} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\Theta} = \frac{1}{4\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{D\Theta}} \]

2. Partielle Ableitung von \( f_0 \) nach \( \Theta \):
\[ \frac{\partial f_0}{\partial \Theta} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{D}{\Theta} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( -\frac{D}{\Theta^2} \right) = -\frac{1}{4\pi} \cdot \frac{D}{\Theta^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{D\Theta}} = -\frac{1}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{D}}{\Theta^{3/2}} \]

Nun können diese Ableitungen in die Formel für die Unsicherheit eingesetzt werden:

\[ \Delta f_0 = \sqrt{\left( \frac{1}{4\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{D\Theta}} \cdot \Delta D \right)^2 + \left( -\frac{1}{4\pi} \cdot \frac{\sqrt{D}}{\Theta^{3/2}} \cdot \Delta \Theta \right)^2} \]

Das ergibt:

\[ \Delta f_0 = \frac{1}{4\pi} \sqrt{\left( \frac{\Delta D}{\sqrt{D\Theta}} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{D} \cdot \Delta \Theta}{\Theta^{3/2}} \right)^2} \]

Diese Formel beschreibt die Messunsicherheitsfortpflanzung für die gegebene Funktion \( f_0 \).