Kannst du mir die Formel der Zeitdilatation nennen und ein Beispiel dazu machen?

Die Formel zur Berechnung der Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie lautet:

\[ t' = \frac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Dabei ist:
- \( t' \) die Zeit, die für einen bewegten Beobachter vergeht,
- \( t \) die Zeit, die für einen ruhenden Beobachter vergeht,
- \( v \) die Geschwindigkeit des bewegten Beobachters,
- \( c \) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (ungefähr \( 3 \times 10^8 \) m/s).

**Beispiel:**

Angenommen, ein Raumschiff bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von \( 0,8c \) (80% der Lichtgeschwindigkeit) relativ zur Erde. Ein Ereignis dauert für einen ruhenden Beobachter auf der Erde 10 Jahre.

1. Setze die Werte in die Formel ein:
\[ t' = \frac{10 \text{ Jahre}}{\sqrt{1 - \left(\frac{0,8c}{c}\right)^2}} \]

2. Vereinfache den Ausdruck:
\[ t' = \frac{10 \text{ Jahre}}{\sqrt{1 - 0,64}} \]
\[ t' = \frac{10 \text{ Jahre}}{\sqrt{0,36}} \]
\[ t' = \frac{10 \text{ Jahre}}{0,6} \]

3. Berechne das Ergebnis:
\[ t' \approx 16,67 \text{ Jahre} \]

Das bedeutet, dass für den bewegten Beobachter im Raumschiff 16,67 Jahre vergangen sind, während für den ruhenden Beobachter auf der Erde nur 10 Jahre vergangen sind.